<div dir="auto">Great to know, thanks Peter!  I will continue to work on it and see if it comes to that point.  I really appreciate all the information.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Adam</div><div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Mar 5, 2021 at 8:39 AM Peter Diener &lt;<a href="mailto:diener@cct.lsu.edu">diener@cct.lsu.edu</a>&gt; wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Hi Adam,<br>
<br>
If it indeed turns out that your problem can be cast as a 4th order <br>
elliptical PDE, I don&#39;t see any reason why this could not be simulated.<br>
In fact in the thorn NoExcision, we actually use up to a 6th order <br>
ellitpical PDE to fill in the interior of a black hole with constraint<br>
violating data that smoothly matches the exterior data. In this thorn<br>
we implemented a conjugate gradient method to solve the equations and <br>
didn&#39;t see any issues with the fact the the equations involved 6th<br>
derivatives.<br>
<br>
Cheers,<br>
<br>
   Peter<br>
<br>
On Wednesday 2021-03-03 14:52, Adam Herbst wrote:<br>
<br>
&gt;Date: Wed, 3 Mar 2021 14:52:53<br>
&gt;From: Adam Herbst &lt;<a href="mailto:adamdrewherbst@gmail.com" target="_blank">adamdrewherbst@gmail.com</a>&gt;<br>
&gt;To: Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt;<br>
&gt;Cc: Einstein Toolkit Users &lt;<a href="mailto:users@einsteintoolkit.org" target="_blank">users@einsteintoolkit.org</a>&gt;<br>
&gt;Subject: Re: [Users] Can I simulate this exotic static topological spacetime<br>
&gt;    with the ET?<br>
&gt;<br>
&gt;Hi Erik,<br>
&gt;I am elated to receive such a detailed answer, and it appears you have<br>
&gt;understood my problem perfectly, maybe better than I understand it myself. <br>
&gt;I&#39;ll see if I can clear up the write-up I had and send it over.  But I think<br>
&gt;you are right that I have not developed this enough to be tested numerically<br>
&gt;yet.  After reading more, I think the Hilbert action approach doesn&#39;t make<br>
&gt;sense anyway.  Also, as far as I can tell, the curvature singularity is<br>
&gt;unavoidable due to the topological transition to the loop.<br>
&gt;<br>
&gt;I had previously based the idea on a &quot;curvature wave equation&quot;, which might<br>
&gt;be an elliptic PDE but it would be fourth-order in the metric.  Could a<br>
&gt;4th-order PDE be simulated?<br>
&gt;<br>
&gt;Thank you kindly,<br>
&gt;Adam<br>
&gt;<br>
&gt;On Tue, Mar 2, 2021 at 1:00 PM Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt; wrote:<br>
&gt;      Adam<br>
&gt;<br>
&gt;      The setup you described seems to have singularities on the<br>
&gt;      boundary.<br>
&gt;      This is usually a very elegant ansatz for an analytic study, but<br>
&gt;      is<br>
&gt;      disastrous in a numerical study. As a first step, it will be<br>
&gt;      necessary<br>
&gt;      to convert this ansatz to a setup that has no singularities,<br>
&gt;      i.e.<br>
&gt;      metric is non-zero and non-infinite everywhere, and the<br>
&gt;      curvature also<br>
&gt;      needs to be finite everywhere. There are several generic methods<br>
&gt;      for<br>
&gt;      that (e.g. &quot;subtracting&quot; or &quot;dividing by&quot; singular terms), but<br>
&gt;      it<br>
&gt;      remains a non-trivial task.<br>
&gt;<br>
&gt;      Most people use the Einstein Toolkit to evolve a dynamical<br>
&gt;      spacetime.<br>
&gt;      Looking for a stationary solution would be called &quot;setting up<br>
&gt;      initial<br>
&gt;      conditions&quot; in our lingo. While the Einstein Toolkit has many<br>
&gt;      kinds of<br>
&gt;      initial conditions built in, it&#39;s usually a bit involved to set<br>
&gt;      up a<br>
&gt;      new kind of initial condition.<br>
&gt;<br>
&gt;      Even so, the Einstein Toolkit is geared towards solving R_ab = 0<br>
&gt;      (in<br>
&gt;      vacuum). What you describe sounds like a very different method.<br>
&gt;      I<br>
&gt;      don&#39;t know how one would formulate allowing for non-zero Ricci<br>
&gt;      curvature without prescribing a matter content in terms of an<br>
&gt;      elliptic<br>
&gt;      PDE.<br>
&gt;<br>
&gt;      If you can formulate your problem in terms of elliptic PDEs then<br>
&gt;      I (or<br>
&gt;      others!) can point you towards thorns or modules to study.<br>
&gt;      Otherwise<br>
&gt;      you&#39;re probably still a step away from using a numerical method.<br>
&gt;      I<br>
&gt;      might have misunderstood your problem description, though. Do<br>
&gt;      you have<br>
&gt;      a pointer to a write-up that gives more details?<br>
&gt;<br>
&gt;      -erik<br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt;      On Tue, Mar 2, 2021 at 11:40 AM Adam Herbst<br>
&gt;      &lt;<a href="mailto:adamdrewherbst@gmail.com" target="_blank">adamdrewherbst@gmail.com</a>&gt; wrote:<br>
&gt;      &gt;<br>
&gt;      &gt; Hi all,<br>
&gt;      &gt; Before tackling the learning curve, I want to see if there&#39;s<br>
&gt;      any chance I can do what I&#39;m hoping to, because it seems<br>
&gt;      unlikely, but with something as highly developed as the ET<br>
&gt;      appears to be, you never know!<br>
&gt;      &gt;<br>
&gt;      &gt; I want to find a stationary spacetime, in which each<br>
&gt;      time-slice has a topological defect anchored at the origin. <br>
&gt;      Specifically, we take an &quot;extruded sphere&quot; (S^2 x [0,1]), set<br>
&gt;      the metric such that the radii of the end-spheres goes to zero,<br>
&gt;      and attach each end to one &quot;half-space&quot; of the origin (theta in<br>
&gt;      [0, pi/2] and theta in [pi/2, pi]).  This can be done &quot;smoothly&quot;<br>
&gt;      by having g_{theta,theta} from outside approach sin^2(2 * theta)<br>
&gt;      instead of sin^2(theta), so that a radial cross-section becomes<br>
&gt;      a pair of spheres, one for each half-space, instead of a single<br>
&gt;      sphere.  Thus the defect is actually a &quot;bridge&quot; between these<br>
&gt;      two half-spaces, and geodesics through the origin traverse this<br>
&gt;      loop.  But the curvature does become infinite at the origin.<br>
&gt;      &gt;<br>
&gt;      &gt; Now the thing is, what I really want to do is start with the<br>
&gt;      ansatz described above (I already have a formula for the<br>
&gt;      metric), and make it converge to a solution of the<br>
&gt;      Einstein-Hilbert action, while keeping it stationary.  But in<br>
&gt;      this case it is NOT the same as the vacuum field equation,<br>
&gt;      because the &quot;boundary condition&quot; of the topological singularity<br>
&gt;      will not allow the Ricci curvature to disappear, even when we<br>
&gt;      minimize total curvature.  Or so I believe.  So that&#39;s why it<br>
&gt;      has to be a purely action-based approach, if that even makes<br>
&gt;      sense.<br>
&gt;      &gt;<br>
&gt;      &gt; So I hope this was coherent.  And if it is possible, can you<br>
&gt;      let me know which modules I should start getting familiar with<br>
&gt;      in order to give it a shot?<br>
&gt;      &gt;<br>
&gt;      &gt; Thank you for reading!  Cheers,<br>
&gt;      &gt;<br>
&gt;      &gt; Adam<br>
&gt;      &gt; _______________________________________________<br>
&gt;      &gt; Users mailing list<br>
&gt;      &gt; <a href="mailto:Users@einsteintoolkit.org" target="_blank">Users@einsteintoolkit.org</a><br>
&gt;      &gt; <a href="http://lists.einsteintoolkit.org/mailman/listinfo/users" rel="noreferrer" target="_blank">http://lists.einsteintoolkit.org/mailman/listinfo/users</a><br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt;      --<br>
&gt;      Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt;<br>
&gt;      <a href="http://www.perimeterinstitute.ca/personal/eschnetter/" rel="noreferrer" target="_blank">http://www.perimeterinstitute.ca/personal/eschnetter/</a><br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt;<br>
</blockquote></div></div>