<div dir="ltr"><div>Hi Erik,</div><div>This is quite sobering.  I am very grateful for the in-depth response, and frankly in awe of all you folks are doing.  Thank you so much!</div><div><br></div><div>Adam<br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Mon, Mar 8, 2021 at 6:16 PM Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt; wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">Adam<br>
<br>
To solve a problem numerically, one must first have a well-posed<br>
formulation of the problem, and then choose a well-posed<br>
discretization. Both are difficult to obtain from the equations. If<br>
one just implements an equation, some boundary and/or initial<br>
conditions, and then runs a solver, most likely things won&#39;t work, and<br>
one won&#39;t have the slightest idea what is going wrong. In addition to<br>
the above, you&#39;ll need some intuition for length scales, time scales,<br>
curvature scales, etc. Starting with a 4d spacetime is probably<br>
hopeless.<br>
<br>
Is there a way to simplify the problem to fewer dimensions? To simpler<br>
equations? Maybe to simpler physics even, solving a strawman problem?<br>
<br>
For example, when learning how to solve the Einstein equations (which<br>
are nonlinear tensorial wave equations), we started with solving the<br>
linear scalar wave equation in one dimension. If there is no<br>
one-dimensional case, then maybe assuming axisymmetry or stationarity<br>
will help, or maybe one can study a linearization of the equations<br>
about some background, etc.<br>
<br>
Even when simulating binary black holes (which is, by now, a well<br>
understood problem, since we have been simulating them for 15 years),<br>
it is difficult to get started from scratch. Most people start by<br>
taking an existing simulation and making small variations (masses,<br>
spins, initial velocities, etc.), or they take a known physical<br>
scenario and change numerical parameters (resolution, boundaries,<br>
numerical methods). The &quot;original&quot; black hole simulations were quite<br>
difficult to obtain and were based on years of experience, including<br>
experience from axisymmetric black hole simulations from many years<br>
earlier.<br>
<br>
Since you are interested in studying a completely new set of<br>
equations, I suggest to consider first a much simplified problem. I<br>
wish that tools such as the Einstein Toolkit were black box solvers<br>
(similar to Mathematica&#39;s &quot;Integrate&quot; function), but in truth we&#39;re<br>
far away from that...<br>
<br>
-erik<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
On Mon, Mar 8, 2021 at 5:19 PM Adam Herbst &lt;<a href="mailto:adamdrewherbst@gmail.com" target="_blank">adamdrewherbst@gmail.com</a>&gt; wrote:<br>
&gt;<br>
&gt; Hi Erik / Peter,<br>
&gt; Here is the write-up of the idea I&#39;d like to simulate.  I know it is pretty outlandish and not very likely to be true at the end of the day, but I can&#39;t shake the fact that it seems to explain the baryons so naturally.  So I&#39;d be ecstatic if you&#39;d take a look and see if you think it would be possible to simulate this model of the electron.  Even if I could just use the Toolkit for something like calculating the d&#39;Alembertian of the Riemann tensor, so I could play with the metric and try to get it to converge to zero.<br>
&gt;<br>
&gt; <a href="https://adamdrewherbst.pythonanywhere.com/welcome/spacetime/index?language=english&amp;section=brief" rel="noreferrer" target="_blank">https://adamdrewherbst.pythonanywhere.com/welcome/spacetime/index?language=english&amp;section=brief</a><br>
&gt;<br>
&gt; But honestly, I would really appreciate it if any of you spacetime experts could tell me your reaction to the model as a whole, because it&#39;s hard to get that kind of feedback!  If you see a multitude of reasons it should be dumped without further ado, well, that would be valuable too.  But I understand you may not have the time for that.  In any case, looking forward to a response!<br>
&gt;<br>
&gt; Thank you,<br>
&gt; Adam<br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt;<br>
&gt; On Fri, Mar 5, 2021 at 5:10 PM Adam Herbst &lt;<a href="mailto:adamdrewherbst@gmail.com" target="_blank">adamdrewherbst@gmail.com</a>&gt; wrote:<br>
&gt;&gt;<br>
&gt;&gt; Great to know, thanks Peter!  I will continue to work on it and see if it comes to that point.  I really appreciate all the information.<br>
&gt;&gt;<br>
&gt;&gt; Adam<br>
&gt;&gt;<br>
&gt;&gt; On Fri, Mar 5, 2021 at 8:39 AM Peter Diener &lt;<a href="mailto:diener@cct.lsu.edu" target="_blank">diener@cct.lsu.edu</a>&gt; wrote:<br>
&gt;&gt;&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; Hi Adam,<br>
&gt;&gt;&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; If it indeed turns out that your problem can be cast as a 4th order<br>
&gt;&gt;&gt; elliptical PDE, I don&#39;t see any reason why this could not be simulated.<br>
&gt;&gt;&gt; In fact in the thorn NoExcision, we actually use up to a 6th order<br>
&gt;&gt;&gt; ellitpical PDE to fill in the interior of a black hole with constraint<br>
&gt;&gt;&gt; violating data that smoothly matches the exterior data. In this thorn<br>
&gt;&gt;&gt; we implemented a conjugate gradient method to solve the equations and<br>
&gt;&gt;&gt; didn&#39;t see any issues with the fact the the equations involved 6th<br>
&gt;&gt;&gt; derivatives.<br>
&gt;&gt;&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; Cheers,<br>
&gt;&gt;&gt;<br>
&gt;&gt;&gt;    Peter<br>
&gt;&gt;&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; On Wednesday 2021-03-03 14:52, Adam Herbst wrote:<br>
&gt;&gt;&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;Date: Wed, 3 Mar 2021 14:52:53<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;From: Adam Herbst &lt;<a href="mailto:adamdrewherbst@gmail.com" target="_blank">adamdrewherbst@gmail.com</a>&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;To: Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;Cc: Einstein Toolkit Users &lt;<a href="mailto:users@einsteintoolkit.org" target="_blank">users@einsteintoolkit.org</a>&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;Subject: Re: [Users] Can I simulate this exotic static topological spacetime<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;    with the ET?<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;Hi Erik,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;I am elated to receive such a detailed answer, and it appears you have<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;understood my problem perfectly, maybe better than I understand it myself.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;I&#39;ll see if I can clear up the write-up I had and send it over.  But I think<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;you are right that I have not developed this enough to be tested numerically<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;yet.  After reading more, I think the Hilbert action approach doesn&#39;t make<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;sense anyway.  Also, as far as I can tell, the curvature singularity is<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;unavoidable due to the topological transition to the loop.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;I had previously based the idea on a &quot;curvature wave equation&quot;, which might<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;be an elliptic PDE but it would be fourth-order in the metric.  Could a<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;4th-order PDE be simulated?<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;Thank you kindly,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;Adam<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;On Tue, Mar 2, 2021 at 1:00 PM Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt; wrote:<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Adam<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      The setup you described seems to have singularities on the<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      boundary.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      This is usually a very elegant ansatz for an analytic study, but<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      is<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      disastrous in a numerical study. As a first step, it will be<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      necessary<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      to convert this ansatz to a setup that has no singularities,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      i.e.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      metric is non-zero and non-infinite everywhere, and the<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      curvature also<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      needs to be finite everywhere. There are several generic methods<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      for<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      that (e.g. &quot;subtracting&quot; or &quot;dividing by&quot; singular terms), but<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      it<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      remains a non-trivial task.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Most people use the Einstein Toolkit to evolve a dynamical<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      spacetime.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Looking for a stationary solution would be called &quot;setting up<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      initial<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      conditions&quot; in our lingo. While the Einstein Toolkit has many<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      kinds of<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      initial conditions built in, it&#39;s usually a bit involved to set<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      up a<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      new kind of initial condition.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Even so, the Einstein Toolkit is geared towards solving R_ab = 0<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      (in<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      vacuum). What you describe sounds like a very different method.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      I<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      don&#39;t know how one would formulate allowing for non-zero Ricci<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      curvature without prescribing a matter content in terms of an<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      elliptic<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      PDE.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      If you can formulate your problem in terms of elliptic PDEs then<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      I (or<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      others!) can point you towards thorns or modules to study.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Otherwise<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      you&#39;re probably still a step away from using a numerical method.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      I<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      might have misunderstood your problem description, though. Do<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      you have<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      a pointer to a write-up that gives more details?<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      -erik<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      On Tue, Mar 2, 2021 at 11:40 AM Adam Herbst<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &lt;<a href="mailto:adamdrewherbst@gmail.com" target="_blank">adamdrewherbst@gmail.com</a>&gt; wrote:<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; Hi all,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; Before tackling the learning curve, I want to see if there&#39;s<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      any chance I can do what I&#39;m hoping to, because it seems<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      unlikely, but with something as highly developed as the ET<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      appears to be, you never know!<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; I want to find a stationary spacetime, in which each<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      time-slice has a topological defect anchored at the origin.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Specifically, we take an &quot;extruded sphere&quot; (S^2 x [0,1]), set<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      the metric such that the radii of the end-spheres goes to zero,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      and attach each end to one &quot;half-space&quot; of the origin (theta in<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      [0, pi/2] and theta in [pi/2, pi]).  This can be done &quot;smoothly&quot;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      by having g_{theta,theta} from outside approach sin^2(2 * theta)<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      instead of sin^2(theta), so that a radial cross-section becomes<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      a pair of spheres, one for each half-space, instead of a single<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      sphere.  Thus the defect is actually a &quot;bridge&quot; between these<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      two half-spaces, and geodesics through the origin traverse this<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      loop.  But the curvature does become infinite at the origin.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; Now the thing is, what I really want to do is start with the<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      ansatz described above (I already have a formula for the<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      metric), and make it converge to a solution of the<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Einstein-Hilbert action, while keeping it stationary.  But in<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      this case it is NOT the same as the vacuum field equation,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      because the &quot;boundary condition&quot; of the topological singularity<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      will not allow the Ricci curvature to disappear, even when we<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      minimize total curvature.  Or so I believe.  So that&#39;s why it<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      has to be a purely action-based approach, if that even makes<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      sense.<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; So I hope this was coherent.  And if it is possible, can you<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      let me know which modules I should start getting familiar with<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      in order to give it a shot?<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; Thank you for reading!  Cheers,<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; Adam<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; _______________________________________________<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; Users mailing list<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; <a href="mailto:Users@einsteintoolkit.org" target="_blank">Users@einsteintoolkit.org</a><br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      &gt; <a href="http://lists.einsteintoolkit.org/mailman/listinfo/users" rel="noreferrer" target="_blank">http://lists.einsteintoolkit.org/mailman/listinfo/users</a><br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      --<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;      <a href="http://www.perimeterinstitute.ca/personal/eschnetter/" rel="noreferrer" target="_blank">http://www.perimeterinstitute.ca/personal/eschnetter/</a><br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
&gt;&gt;&gt; &gt;<br>
<br>
<br>
<br>
-- <br>
Erik Schnetter &lt;<a href="mailto:schnetter@cct.lsu.edu" target="_blank">schnetter@cct.lsu.edu</a>&gt;<br>
<a href="http://www.perimeterinstitute.ca/personal/eschnetter/" rel="noreferrer" target="_blank">http://www.perimeterinstitute.ca/personal/eschnetter/</a><br>
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